Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста:
В файле mainwindow.cpp есть некоторая переменная state (переменная состояния), которой присваивается значение в этом же файле. Как использовать эту переменную в mainwindow.h?
При попытке объявить переменную в mainwindow.cpp глобально, а затем использовать в mainwinow.h, выскакивает ошибка: 'state' was not declared in this scope
Как быть?

Так и объявляйте её в mainwindow.h, как переменную класса (у вас же там класс объявлен?).

Да, объявлен класс, а можно ли будет этой переменной воспользоваться в mainwindow.cpp для изменения её значения?
И объявить эту переменную нужно вне всех классов?

Если вам нужна переменная класса, то объявляйте ее внутри класса. Что конкретно вы хотите сделать?

Нужна переменная, которой можно будет присваивать значения в mainwindow.cpp, а затем проверять её значение в mainwindow.h

изучайте основы С++. тогда такие вопросы возникать не будут. без хорошего знания С++ в Qt делать нечего.