я с ODBC практически не знаком, т.е. до Qt с ним не работал. И правила записи имени источника данных через программу не знаю.
Также не знаю насколько полно Qt поддерживает ODBC, например, при работе с FireBird'ом не всё ровно.
Когда используется способ какой описал я, то всегда работает надёжно.
возможно
вот здесь, например, нет пути к файлу, как ODBC должен догадаться о его место положении?
И будет ли такая запись работать на *nix-системах? И не понятно насколько полно поддерживает unixODBC мелкосовтовский стандарт?

Под виндой:
DBQ=C:\Program files\My Program\1.mdb;

вообще путь с пробелами это от лукавого, это даже мелкосовтовцы поняли, в Висте этот каталог только ради совместимости существует.
Попробуй его в кавычки взять, а лучше вообще в Program files ничего не клади.

Ни каких кавычек не надо, следующий фрагмент прекрасно работает:

    QString dbName = "C:\\Program Files\\Xxx Xxx\\xxx.mdb";
    QSqlDatabase db = QSqlDatabase::addDatabase(QLatin1String("QODBC"));
    QString conn = QString("DRIVER={Microsoft Access Driver (*.mdb)};FIL={MS Access};DBQ=%1;").arg(dbName);
    db.setDatabaseName(conn);
    if (!db.open())
    {
        qDebug() << db.lastError().text();
    }